Klar, diese Frage ist natürlich essentiell. Schliesslich ... äh, was ist denn eine 4-dimensionale Kugel? Gibbet dat? Und wenn ja, wieso und was kümmert's mich?

Nun ja, im 3D Leben ist das uninteressant - vielleicht - who really knows.

Aber in der Mathematik gibt es ja keine Physik, keine Physik nur Rechnen. Drum sagen ja einige, Mathematik ist die purste Wissenschaft. Auch wenn ihre Resultate aber auch gar nichts mit unserer Erfahrungswelt zu tun haben. Denn eine 8D Kugel, was soll das denn sein?

Spannenderweise ist das Volumen einer 8D Kugel wieder kleiner als eine 3D oder 4D Kugel. Wie kann sowas denn sein?

Klingt schon esoterisch, sich mit solchen Dingen zu beschäftigen ... aber: Archimedes tat das 2000 Jahre vor uns schon ... und wir alle kennen ja die Kreisformeln.

Also:

der Umfang eines Kreises: 2 πr
die Fläche des Kreises: π r²

die Fläche der Kugel: 4 π r²
das Volumen der Kugel: ⁴/₃ π r³

für den Radius = 1 können wir das r ja weglassen und dann ist es

der Umfang eines Kreises: 2 π
die Fläche des Kreises: π

die Oberfläche der Kugel: 4 π
das Volumen der Kugel: ⁴ / ₃ π

Soweit kennen wir das wohl alle.

Die Fläche einer 4D Kugel?

Einfach: π² / 2
das Volumen der 4D Kugel: π² / 2

Und die 8D Kugel?

Einfach: π⁴ / 3
das Volumen der 4D Kugel: π⁴ / 24

Woher ich das weiss? Was heisst schon wissen ... ich habe mir dieses Video von 3Blue1BRown angeschaut und es hat mich fasziniert, denn auch wenn ich physikalisch nicht weiss, was eine 8D Kugel ist, so kann ich doch der mathematischen Herleitung folgen. Und die ist bestehend, denn sie startet da, wo wir uns alle auskennen, in der 3D Erlebniswelt und der Abstrkation der 2D Welt, die wir auch kennen, weil die 2D-Welt in der 3D-Welt enthalten ist. Demzufolge ist die 3D-Welt in der 4D-Welt enthalten ... aber das geht für unsere 3D Sensoren und Erfahrungen ja schon nicht mehr. Vor allem der Verstand klinkt sich aus. Denn der wurde halt geschaffen für den Umgang in der 3D-Welt.

Die Entwicklung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von n-dimensionalen Kugeln lautet also:

π^{(n / 2)} / _{(n / 2)!}

Easy, nicht? Hat zwar etwas komisches drin, die Fakultät eines Bruches. Aber da die Fakultät ja rekursiv definiert ist, kann man jede gebrochene Fakultät ja ausrechnen lassen. Diese Formel enstand einfach durch mathematisches Verallgemeinern und Umformen.

Eben, drum, Video schauen. Die Mathematik macht es einem einfach - den Bezug zur gewohnen Realität herstellen ... wohl unmöglich für uns.

Es ist spannend zu philosophieren, ob diese Formel eine Bedeutung haben könnte für uns Menschen. Vielleicht die, dass es wirklich 3 bis 4 oder gar noch 5 Dimensionen brauchen kann, um Leben Raum zu geben, denn ab 7 und mehr Dimensionen nimmt das Volumen der Kugel ab - ergo weniger "Platz" für Wesen.

Wie und was auch immer - wie den Vortragenden im Video finde ich es faszinierend, wohin reine mathematische Überlegungen führen. Und was jeder eventuell für sich daraus ziehen könnte.